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第六章 傅氏拉氏变换的关系及各自定理的证明

知秋一叶2026/6/11...大约 5 分钟
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一、傅氏拉氏变换的各自定义与联系

1.1 傅里叶变换

定义：傅里叶变换是将某个函数表示成三角函数或它们积分的线性组合。

公式：X(jω)=∫−∞+∞x(t)e−jωtdtX(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j\omega t} \text{d}t，x(t)=12π∫−∞+∞X(jω)ejωtdωx(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} \text{d}\omega。
狄里赫利条件属于傅里叶级数分析使用的条件即绝对可积、有限间断点、有限起伏点，是傅里叶变换存在的充分条件而非必要条件。傅里叶变换实现了时域到频域的变换，表示出频域特性，可以把它想象成一个三棱镜，原本肉眼看到的太阳光将被折射出各个不同的频率方便人们分析光的成分。

1.2 拉普拉斯变换

公式：F(s)=∫−∞+∞f(t)e−stdtF(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-st} \text{d}t，f(t)=12πj∫σ−j∞σ+j∞F(s)estdsf(t) = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty} F(s) e^{st} \text{d}s。

应用条件：拉普拉斯变换相当于引入指数衰减因子 e−σte^{-\sigma t}，只需要找到满足条件的 σ\sigma 即可。拉普拉斯变换求解步骤得到简化，有特解和齐次解、零状态响应和零输入响应，初始条件会包含在变换式中。

1.3 拉氏变换与傅里叶变换的关系

拉氏变换相当于将傅里叶变换中的 jωj\omega 推广成一般的复变量 s=σ+jωs = \sigma + j\omega，从物理意义看，傅里叶变换把信号分解为无穷多个等幅振荡的余弦信号之和，而拉普拉斯变化把信号分解为无穷多个变幅振荡的余弦信号之和。

非常重要的定理

当拉氏变换的收敛域包含 jωj\omega 轴时，傅里叶变换也存在（常出在小题中）。但是当收敛域的边界在 jωj\omega 轴上时，其傅里叶变换也是可以存在的，但不能简单地将 ss 替换为 jωj\omega 求傅里叶变换。如 f(t)=u(t),F(s)=1s(Re{s}>0)f(t) = u(t), F(s) = \frac{1}{s} (\text{Re}\{s\}>0)，其 F(jω)=1jω+πδ(ω)F(j\omega) = \frac{1}{j\omega} + \pi\delta(\omega)。

二、典型性质的证明

2.1 连续时间傅里叶级数相乘性质

1T∫Tx(t)y(t)e−jkω0tdt\frac{1}{T}\int_{T} x(t)y(t) e^{-jk\omega_0 t} \text{d}t

令 x(t)=∑m=−∞+∞amejmω0tx(t) = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} a_m e^{jm\omega_0 t}，y(t)=∑l=−∞+∞blejlω0ty(t) = \sum_{l=-\infty}^{+\infty} b_l e^{jl\omega_0 t}，则有：

ck=∑m=−∞+∞ambk−mc_k = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} a_m b_{k-m}

2.2 傅里叶级数的帕斯瓦尔定理

1T∫T∣x(t)∣2dt=1T∫Tx(t)x∗(t)dt\frac{1}{T}\int_{T} |x(t)|^2 \text{d}t = \frac{1}{T}\int_{T} x(t)x^*(t)\text{d}t

令 x∗(t)=∑k=−∞+∞ak∗e−jkω0tx^*(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k^* e^{-jk\omega_0 t}，则有：

1T∫Tx(t)[∑k=−∞+∞ak∗e−jkω0t]dt=∑k=−∞+∞ak∗[1T∫Tx(t)e−jkω0tdt]=∑k=−∞+∞akak∗=∑k=−∞+∞∣ak∣2\frac{1}{T}\int_{T} x(t) \left[ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k^* e^{-jk\omega_0 t} \right] \text{d}t = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k^* \left[ \frac{1}{T}\int_{T} x(t) e^{-jk\omega_0 t} \text{d}t \right] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k a_k^* = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} |a_k|^2

2.3 傅里叶变换时域积分

∫−∞tx(τ)dτ=x(t)∗u(t)\int_{-\infty}^{t} x(\tau)\text{d}\tau = x(t) * u(t)

F{x(t)∗u(t)}=X(jω)[1jω+πδ(ω)]=1jωX(jω)+πX(0)δ(ω)\mathcal{F}\{x(t) * u(t)\} = X(j\omega) \left[ \frac{1}{j\omega} + \pi\delta(\omega) \right] = \frac{1}{j\omega}X(j\omega) + \pi X(0)\delta(\omega)

2.4 时域卷积定理

F{x(t)∗h(t)}=∫−∞+∞[∫−∞+∞x(τ)h(t−τ)dτ]e−jωtdt\mathcal{F}\{x(t) * h(t)\} = \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h(t-\tau)\text{d}\tau \right] e^{-j\omega t}\text{d}t

交换积分次序得：

∫−∞+∞x(τ)[∫−∞+∞h(t−τ)e−jωtdt]dτ\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} h(t-\tau)e^{-j\omega t}\text{d}t \right] \text{d}\tau

根据时移性质：

∫−∞+∞x(τ)H(jω)e−jωτdτ=H(jω)∫−∞+∞x(τ)e−jωτdτ=X(jω)Y(jω)\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) H(j\omega)e^{-j\omega \tau}\text{d}\tau = H(j\omega)\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)e^{-j\omega\tau}\text{d}\tau = X(j\omega)Y(j\omega)

2.5 频域卷积定理

F{x(t)y(t)}=∫−∞+∞x(t)y(t)e−jωtdt=∫−∞+∞[12π∫−∞+∞X(jΩ)ejΩtdΩ]y(t)e−jωtdt\mathcal{F}\{x(t)y(t)\} = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)y(t)e^{-j\omega t}\text{d}t = \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(j\Omega)e^{j\Omega t}\text{d}\Omega \right] y(t)e^{-j\omega t}\text{d}t

交换积分次序得：

12π∫−∞+∞X(jΩ)[∫−∞+∞y(t)e−j(ω−Ω)tdt]dΩ\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(j\Omega) \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} y(t)e^{-j(\omega-\Omega)t}\text{d}t \right] \text{d}\Omega

根据频移性质：

12π∫−∞+∞X(jΩ)Y(j(ω−Ω))dΩ=12πX(jω)∗Y(jω)\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(j\Omega)Y(j(\omega-\Omega))\text{d}\Omega = \frac{1}{2\pi}X(j\omega) * Y(j\omega)

2.6 单边拉普拉斯变换时域微分

L{f′(t)}=∫0−+∞df(t)dte−stdt=f(t)e−st∣0−+∞−∫0−+∞f(t)(−s)e−stdt=−f(0−)+sF(s)\mathcal{L}\{f'(t)\} = \int_{0^-}^{+\infty} \frac{\text{d}f(t)}{\text{d}t} e^{-st} \text{d}t = f(t)e^{-st}\Big|_{0^-}^{+\infty} - \int_{0^-}^{+\infty} f(t)(-s)e^{-st}\text{d}t = -f(0^-) + sF(s)

推广得到：

L{f(n)(t)}=snF(s)−sn−1f(0−)−⋯−f(n−1)(0−)\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^n F(s) - s^{n-1}f(0^-) - \dots - f^{(n-1)}(0^-)

2.7 s域微分性质

F(s)=∫−∞+∞f(t)e−stdtF(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-st}\text{d}t

将两端对 ss 求导得到：

dF(s)ds=∫−∞+∞f(t)(−t)e−stdt=∫−∞+∞[−tf(t)]e−stdt\frac{\text{d}F(s)}{\text{d}s} = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)(-t)e^{-st}\text{d}t = \int_{-\infty}^{+\infty} [-tf(t)]e^{-st}\text{d}t

由定义可知：

−tf(t) 与 dF(s)ds 是一对拉氏变换-tf(t) \text{ 与 } \frac{\text{d}F(s)}{\text{d}s} \text{ 是一对拉氏变换}

推广得到：

(−t)nf(t)↔dnF(s)dsn(-t)^n f(t) \leftrightarrow \frac{\text{d}^n F(s)}{\text{d}s^n}

2.8 初值定理

由时域微分性质：

L{f′(t)}=∫0−+∞f′(t)e−stdt=sF(s)−f(0−)\mathcal{L}\{f'(t)\} = \int_{0^-}^{+\infty} f'(t)e^{-st}\text{d}t = sF(s) - f(0^-)

对上式两端取极限：

lim⁡s→∞∫0−+∞f′(t)e−stdt=lim⁡s→∞[sF(s)−f(0−)]\lim_{s \to \infty} \int_{0^-}^{+\infty} f'(t)e^{-st}\text{d}t = \lim_{s \to \infty} [sF(s) - f(0^-)]

0=lim⁡s→∞sF(s)−f(0−)  ⟹  f(0+)=lim⁡s→∞sF(s)0 = \lim_{s \to \infty} sF(s) - f(0^-) \implies f(0^+) = \lim_{s \to \infty} sF(s)

提示

奥本海姆 P470 页题 9.53 给出了另一种用泰勒级数证明初值定理的方法，并且对初值定理加以扩展，从证明中也方便大家理解初值定理为什么是有条件的（即当 t=0t=0 时，f(t)f(t) 连续，并且在 t=0t=0 时，不包含冲激或高阶奇异函数），建议也掌握奥本上的方法。

2.9 终值定理

由时域微分性质：

∫0−+∞df(t)dte−stdt=sF(s)−f(0−)\int_{0^-}^{+\infty} \frac{\text{d}f(t)}{\text{d}t}e^{-st}\text{d}t = sF(s) - f(0^-)

对上式两端取极限 lim⁡s→0\lim_{s \to 0}：

lim⁡s→0∫0−+∞df(t)dte−stdt=lim⁡s→0[sF(s)−f(0−)]\lim_{s \to 0} \int_{0^-}^{+\infty} \frac{\text{d}f(t)}{\text{d}t}e^{-st}\text{d}t = \lim_{s \to 0} [sF(s) - f(0^-)]

∫0−+∞df(t)dtdt=f(∞)−f(0−)  ⟹  f(∞)=lim⁡s→0sF(s)\int_{0^-}^{+\infty} \frac{\text{d}f(t)}{\text{d}t}\text{d}t = f(\infty) - f(0^-) \implies f(\infty) = \lim_{s \to 0} sF(s)

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