第一章 信号与系统的概念

一、信号的概念

1.1 信号的定义

信号是运载信息的工具，在数学上表示为一个或多个自变量的函数，自变量通常是时间 $t$，信号表示为函数 $f(t)$。

1.2 因果信号、逆因果信号的概念

• 当 $t < 0$ 时，若信号 $f(t)=0$，则称 $f(t)$ 为因果信号。
• 当 $t > 0$ 时，若信号 $f(t)=0$，则称 $f(t)$ 为逆因果信号或反因果信号。
• 当 $t < t_1$ 和 $t > t_2$ 时，若信号 $f(t)=0$，则称 $f(t)$ 为时限信号。
• 当 $t < t_1$ 时，若信号 $f(t)=0$，则称 $f(t)$ 为右边信号。
• 当 $t > t_2$ 时，若信号 $f(t)=0$，则称 $f(t)$ 为左边信号。
• 若信号 $f(t)$ 不恒为0的时间范围延伸到正、负无穷大，则称信号 $f(t)$ 为双边信号。

二、信号的分类

2.1 确定信号与随机信号

确定信号是指可以用一个确定的数学表达式来描述的信号。随机信号指不能用一个确切的数学表达式来描述的信号。

2.2 连续时间信号与离散时间信号

连续时间信号是指自变量是可以连续取值的信号。离散时间信号是指仅在某些离散的时刻有定义，而在其他时间无定义的信号。

2.3 实信号与复信号

实信号是指可用一个实数函数来描述的信号，即信号的取值是实数。复信号是指可用一个复数函数来描述的信号，即信号的取值可以是复数。

2.4 周期信号与非周期信号

定义：对连续时间函数 $f(t)$，若存在一个非零的最小正数 $T$，使得 $f(t+T)=f(t)$ 对任意时间均成立，则 $f(t)$ 是周期函数，$T$ 称为信号 $f(t)$ 的周期。

对离散时间函数 $f[n]$，若存在一个非零的最小正整数 $N$，使得 $f[n+N]=f[n]$ 对任意时间均成立，则 $f[n]$ 是周期函数，$N$ 称为信号 $f[n]$ 的周期。

提示

两个离散时间周期信号的和一定为周期信号，两个连续时间周期信号的和不一定是周期信号。

计算公式：

对于连续复指数信号：$T=\frac{2\pi}{\omega}$（$\omega$ 为角频率）
对于离散负指数信号：$T=\frac{2\pi}{\omega}\cdot k$（$k$ 为整数）

提示

对于离散信号而言：

• 当 $\frac{2\pi}{\omega}$ 为正整数时，$k$ 取1
• 当 $\frac{2\pi}{\omega}$ 不为正整数时，$k$ 取分母
• 当 $\frac{2\pi}{\omega}$ 为无理数时，不是周期函数

2.5 能量信号与功率信号

定义： 如果一个信号的能量有限，平均功率为0，则为能量信号。若能量无限，功率有界，则为功率信号。功率信号一定是周期信号，能量信号一定不是周期信号。

计算公式：

连续时间信号的能量和平均功率为

$$E=\lim_{T\rightarrow \infty}\int_{-T}^T{|f\left( t \right) |^2\text{d}t} P=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T{|f\left( t \right) |^2\text{d}t}$$

$$P=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T{|f\left( t \right) |^2\text{d}t}$$

离散时间信号的能量和平均功率为

$$E=\lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{n=-N}^N{|f\left[ n \right] |^2}$$

$$P=\lim_{N\rightarrow \infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^N{|f\left[ n \right] |^2}$$

三、信号的自变量变换

3.1 由 $f(t)$ 变成 $f(at+b)$

$a > 0$ 时，$f(t)\to f(t+b)\to f(at+b)$（先时移，再尺度变换）

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$a < 0$ 时，$f(t)\to f(t+b)\to f(-at+b) \to f(at+b)$（先时移，再尺度变换，最后翻折）。

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3.2 由 $f(at+b)$ 变成 $f(t)$

$a > 0$ 时，$f(at+b)\to f(t+b) \to f(t)$（先尺度变换，再时移）

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$a < 0$ 时，$f(at+b)\to f(-at+b)\to f(t+b) \to f(t)$（先翻折，再尺度变换，最后时移）。

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四、信号的基本运算

4.1 两信号相加

对应时刻的信号值相加。

4.2 两信号相乘

对应时刻的信号值相乘。

4.3 连续时间信号的导数和积分

和数学一样。

4.4 离散时间信号的差分和累加

• 后向差分：$\nabla f\left[ n \right] =f\left[ n \right] -f\left[ n-1 \right]$

• 前向差分：$\varDelta f\left[ n \right] =f\left[ n+1 \right] -f\left[ n \right]$

• 累加：$f^{-1}\left[ n \right] =\displaystyle\sum_{k=-\infty}^n{f\left[ k \right]}$

4.5 信号的奇偶分解

信号的偶部为：$f_e\left( t \right) =\frac{1}{2}\left[ f\left( t \right) +f\left( -t \right) \right]$

信号的奇部为：$f_o\left( t \right) =\frac{1}{2}\left[ f\left( t \right) -f\left( -t \right) \right]$

五、冲激信号和阶跃信号

5.1 离散时间冲激信号和阶跃信号

• 离散时间单位冲激信号：$\delta \left[ n \right] =\left\{ \begin{array}{l} 1,\,\,\,\,\,\,n=0\\ 0,\,\,\,\,\,\,n\ne 0\\ \end{array} \right.$，满足 $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\delta \left[ n \right] =1}$。

• 离散时间单位阶跃信号：$u\left[ n \right] =\left\{ \begin{array}{l} 1,\,\,\,\,\,\,n\ge 0\\ 0,\,\,\,\,\,\,n < 0\\ \end{array} \right.$。

• $\delta \left[ n \right]$ 和 $u[n]$ 的关系：$\delta \left[ n \right] =u\left[ n \right] -u\left[ n-1 \right]$，$u\left[ n \right] =\displaystyle\sum_{k=-\infty}^n{\delta \left[ k \right]}$。

5.2 连续时间冲激信号和阶跃信号

• 连续时间单位冲激信号：$\delta \left( t \right) =\left\{ \begin{array}{l} \infty ,\,\,\,\,\,\,t=0\\ 0\,\,,\,\,\,\,\,\,t\ne 0\\ \end{array} \right.$，满足 $\int_{-\infty}^{\infty}{\delta \left( t \right) \text{d}t=1}$。

• 连续时间单位阶跃信号：$u\left( t \right) =\left\{ \begin{array}{l} 1,\,\,\,\,\,\,t > 0\\ 0,\,\,\,\,\,\,t < 0\\ \end{array} \right.$。

• $\delta(t)$ 和 $u(t)$ 的关系：$\delta \left( t \right) =\frac{\text{d}}{\text{d}t}u\left( t \right)$，$u\left( t \right) =\int_{-\infty}^t{\delta \left( \tau \right) \text{d}\tau}$。

提示

$u_0\left( t \right) =\delta \left( t \right)$，$u_1\left( t \right) =\delta '\left( t \right)$，$u_{\text{(}-1\text{)}}\left( t \right) =u\left( t \right)$，以此类推。

5.3 单位冲激信号的性质

• 单位冲激信号是偶信号：$\delta \left[ n \right] =\delta \left[ -n \right]$，$\delta \left( t \right) =\delta \left( -t \right)$

• 单位冲激信号的筛选性

$$f\left[ n \right] \delta \left[ n-n_0 \right] =f\left[ n_0 \right] \delta \left[ n-n_0 \right]$$

• $\delta(t)$ 的各阶导数及其筛选性

$$\int_{-\infty}^{\infty}{f\left( t \right) \delta \left( t-t_0 \right) \text{d}t=f\left( t_0 \right)}$$

$$\int_{-\infty}^{\infty}{f\left( t \right) \delta \left( t-t_0 \right) \text{d}t=f\left( t_0 \right)}$$

$$\int_{-\infty}^{\infty}{f\left( t \right) \delta \left( t-t_0 \right) \text{d}t=f\left( t_0 \right)}$$

• 复合函数形式的冲激函数

若 $f(t)=0$ 的 $n$ 个根均为单根，即在 $t=t_i$ 处 $f'(t)\ne 0$，则有 $\displaystyle\delta \left[ f\left( t \right) \right] =\sum_{i=1}^n{\frac{1}{\left| f'\left( t_i \right) \right|}\delta (t-t_i)}$

六、系统的概念与性质

6.1 系统的定义

系统在数学上表示为输入输出信号间的一种映射关系。

6.2 系统的相互连接

并联：$y\left( t \right) =M_1\left\{ f\left( t \right) \right\} +M_2\left\{ f\left( t \right) \right\}$

级联：$y\left( t \right) =M_2\left\{ M_1\left[ f\left( t \right) \right] \right\}$

6.3 系统的性质

• 记忆性：系统的输出与未来时刻或过去时刻的输入有关。

• 因果性：系统的输出与未来时刻的输入无关。

• 可逆性：不同的输入产生不同的输出。

• 稳定性：有界的输入产生有界的输出。

• 时不变性：延时的响应等于响应的延时。

• 线性：和的响应等于响应的和。