第二章 线性时不变系统的系统描述和系统响应

一、零输入响应和零状态响应

1. 零输入响应是当输入信号为0时，系统的响应仅由初始状态产生。也就是微分（差分）方程的齐次解。
2. 零状态响应是当初始状态为0时，系统的响应仅由输入信号产生。也就是微分（差分）方程的特解。
3. 系统的全响应为零输入响应与零状态响应的和。

二、线性时不变离散时间系统响应——卷积和

2.1 离散时间系统的冲激响应

定义：离散时间系统的输入信号为单位冲激信号 $\delta[n]$ 时的零状态响应，用 $h[n]$ 表示。

2.2 卷积和公式

$y\left[ n \right] =f\left[ n \right] \ast h\left[ n \right] =\sum_{k=-\infty}^{\infty}{f\left[ k \right] h\left[ n-k \right]}$，此时求出的 $y[n]$ 仅仅是系统的零状态响应。

提示

卷积和乘法相互之间没有结合律和分配率，但是有一个特殊的式子成立：

$$a^nf_1\left[ n \right] \ast a^nf_2\left[ n \right] =a^n\left\{ f_1\left[ n \right] \ast f_2\left[ n \right] \right\}$$

2.3 卷积和的计算

• 图解法

• 冲激函数法：将 $f[n]$ 和 $h[n]$ 表示成冲激函数的形式，然后进行卷积。

• 多项式相乘法：

例如： $f\left[ n \right] =\left\{ 1,2,3 \right\} ,\,\,n=1,2,3,h\left[ n \right] =\left\{ 1,2,1 \right\} ,\,\,n=0,1,2$ ，见下图。

多项式相乘法

三、线性时不变连续时间系统响应——卷积积分

3.1 连续时间系统的冲激响应

定义：连续时间系统的输入信号为单位冲激信号 $\delta(t)$ 时的零状态响应，用 $h(t)$ 表示。

3.2 卷积积分公式

$y\left( t \right) =f\left( t \right) \ast h\left( t \right) =\int_{-\infty}^{\infty}{f\left( \tau \right) h\left( t-\tau \right) \text{d}\tau}$ ，此时求出的 $y(t)$ 仅仅是系统的零状态响应。

提示

$\frac{1}{2}f\left( 2t \right) =f_1\left( 2t \right) \ast f_2\left( 2t \right)$，但是 $\frac{1}{2}f\left[ 2n \right] \ne f_1\left[ 2n \right] \ast f_2\left[ 2n \right]$。并且如果 $f_1\left( t \right) ,f_2\left( t \right)$ 都是奇函数，那么 $y\left( t \right) =f_1\left( t \right) \ast f_2\left( t \right)$ 是偶函数。

3.3 卷积积分的计算

• 图解法

• 性质法（卷积的微积分特性）：$y\left( t \right) =f^{\left( -1 \right)}\left( t \right) \ast h'\left( t \right)$

注

两个非周期信号的卷积可能是周期的，举个例子，$f_1\left( t \right) =\cos 2\pi t+\cos t$ ， $f_2\left( t \right) =\frac{\sin 2t}{\pi t}$ , $f_1\left( t \right) \ast f_2\left( t \right) =\cos t$ （ $f_2(t)$ 相当于滤波器），两个非周期信号卷积得到了周期信号。

四、基于冲激响应的LTI系统特性描述

1. 记忆性：LTI系统为非记忆系统的充要条件是 $h\left( t \right) =k\delta \left( t \right)$ 或 $h\left[ n \right] =k\delta \left[ n \right]$。
2. 因果性：当 $h\left( t \right) =0$，$t<0$ 时或者$h[n]=0$ ， $n<0$ 时，系统是因果系统。

注

当 $n<0$ 时，离散时间LTI系统的阶跃响应 $s[n]$ 为0，这个系统也是因果的。

3. 稳定性：LTI系统为稳定系统的充要条件是 $\int_{-\infty}^{\infty}{|h\left( \tau \right) |\text{d}\tau <\infty}$ 或 $\sum_{k=-\infty}^{\infty}{|h\left( k \right) |<\infty}$ 。

注

如果仅有一个连续时间LTI系统的单位阶跃响应 $s(t)$ 是绝对可积的，即 $\int_{-\infty}^{\infty}{|s\left( t \right) |\text{d}t<\infty}$ ，该系统不一定稳定。

五、卷积的性质

1、卷积满足交换律，分配率和结合律。

2、卷积的微分和积分特性：

1. $\int_{-\infty}^{\infty}{|s\left( t \right) |\text{d}t<\infty}$

2. $y^{(-1)}\left( t \right) =f^{(-1)}\left( t \right) \ast h\left( t \right) =f\left( t \right) \ast h^{(-1)}\left( t \right)$

3. $y\left( t \right) =f^{\left( -1 \right)}\left( t \right) \ast h'\left( t \right)$

六、LTI系统的单位阶跃响应

定义：$y\left( t \right) =f^{\left( -1 \right)}\left( t \right) \ast h'\left( t \right)$ ， $s\left[ n \right] =h\left[ n \right] \ast u\left[ n \right]$

因此， $h\left( t \right) =\frac{\text{d}s\left( t \right)}{\text{d}t}$ ， $h\left[ n \right] =s\left[ n \right] -s\left[ n-1 \right]$，$s\left( t \right) =\int_{-\infty}^t{h\left( \tau \right) \text{d}\tau}$ ， $s\left[ n \right] =\sum_{k=-\infty}^n{h\left[ k \right]}$

提示

和差化积公式

$$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta}{2}\cos \frac{\alpha -\beta}{2}$$

$$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta}{2}\sin \frac{\alpha -\beta}{2}$$

$$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta}{2}\cos \frac{\alpha -\beta}{2}$$

$$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta}{2}\sin \frac{\alpha -\beta}{2}$$

积化和差公式

$$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta}{2}\sin \frac{\alpha -\beta}{2}$$

$$\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}\left[ \sin \left( \alpha +\beta \right) -\sin \left( \alpha -\beta \right) \right]$$

$$\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}\left[ \sin \left( \alpha +\beta \right) -\sin \left( \alpha -\beta \right) \right]$$

$$\sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}\left[ \cos \left( \alpha +\beta \right) -\cos \left( \alpha -\beta \right) \right]$$