第四章 连续时间信号与系统的傅里叶分析

一、LTI连续时间系统的频率响应

1.1 系统的频率响应

系统的频率响应为 $H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}$，其中 $Y(j\omega)$ 是输出，$X(j\omega)$ 是输入，并且如果将输入表示成幅度谱和相位谱的形式，则 $|Y(j\omega)| = |X(j\omega)| \cdot |H(j\omega)|$，$\angle Y(j\omega) = \angle X(j\omega) + \angle H(j\omega)$。

1.2 无失真传输

如果系统响应仅是在输入信号在时间上的延时和幅度上的放大或缩小，就认为信号在传输过程中没有失真，这种系统称为无失真传输系统，用式子来表示则是 $y(t) = K x(t-t_0)$。

无失真传输系统应具有这种形式的冲激响应：$h(t) = K\delta(t-t_0)$，对应的系统频率响应 $H(j\omega) = K e^{-j\omega t_0}$。

1.3 线性相位系统和群时延

群时延定义为 $\tau_g(\omega) = -\frac{\text{d}}{\text{d}\omega}[\angle H(j\omega)]$。

如果一个系统的群时延为常数，则这个系统是线性相位系统。

二、调制和解调

2.1 复指数信号的调制和解调

1. ​调制：让信号 $x(t)$ 乘上复指数信号 $e^{j\omega_c t}$，可得已调信号 $y(t) = x(t)e^{j\omega_c t}$。频域上则为 $Y(j\omega) = X(j(\omega-\omega_c))$。
2. ​解调：让信号 $y(t)$ 乘上复指数信号 $e^{-j\omega_c t}$，可得还原信号 $x(t) = y(t)e^{-j\omega_c t}$。

2.2 正弦载波的调制和解调

1. ​调制：让信号 $x(t)$ 乘上正弦信号 $\cos(\omega_c t)$，可得已调信号 $y(t) = x(t)\cos(\omega_c t)$。频域上则为 $Y(j\omega) = \frac{1}{2}[X(j(\omega-\omega_c)) + X(j(\omega+\omega_c))]$。
2. ​解调：让已调信号乘上本地同步载波 $\cos(\omega_c t)$ 后通过低通滤波器，可得还原信号。

三、采样和采样定理

3.1 冲激串采样

若 $x(t)$ 为连续时间带限信号（频带有限），其傅里叶变换为 $X(j\omega)$。

设 $p(t)$ 是周期为 $T$ 的冲激串。即 $p(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t-nT)$。那么它的傅里叶变换为 $P(j\omega) = \frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega-k\omega_s)$，其中 $\omega_s = \frac{2\pi}{T}$。

则采样信号为 $x_p(t) = x(t)p(t)$。则根据傅里叶变换的性质（时域乘积对应频域卷积）得到 $X_p(j\omega) = \frac{1}{2\pi}X(j\omega)*P(j\omega) = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(j(\omega-k\omega_s))$。

从以上可看出，在时域对连续时间信号进行采样，等效于在频域内将连续时间信号的频谱搬移到采样角频率的整数倍处，即对其频谱进行周期延拓。

3.2 采样信号的恢复——内插

低通滤波器的输出 $H(j\omega) = \begin{cases} T, & |\omega| < \omega_c \\ 0, & |\omega| > \omega_c \end{cases}$，显然 $\omega_c$ 应满足 $\omega_m < \omega_c < \omega_s - \omega_m$。因此，利用低通滤波器可将 $X_p(j\omega)$ 恢复成 $X(j\omega)$，此时 $x(t) = x_p(t) * h(t)$。

根据时域卷积特性，低通滤波器输出信号在时域可表示为：

$$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \frac{\omega_c T}{\pi} \text{Sa}[\omega_c (t-nT)]$$

上式称为信号的内插，内插即是对一组样本值进行拟合，以重建某一个连续时间函数。其中 $h(t) = \frac{\omega_c T}{\pi}\text{Sa}(\omega_c t)$ 称为内插函数，它的特点是在采样点处函数值为 1，而在其余采样点上的函数值为 0。

3.3 采样定理

如果采样角频率相对于信号带宽不够大，则会出现下图所示的频谱“重叠”的现象，称为频谱发生了频谱混叠。

所以，对于一个带限信号，它的傅里叶变换满足当 $|\omega| > \omega_m$ 时 $X(j\omega) = 0$。要使采样信号能够无失真的还原出原信号，需要采样角频率 $\omega_s > 2\omega_m$，即最小采样频率为 $\omega_s = 2\omega_m$。

$\omega_s > 2\omega_m$ 称为奈奎斯特采样定理，$2\omega_m$ 称为奈奎斯特率。

​小提示：只有当采样频率为 $\omega_s$ 的采样信号的频谱不存在缺项的情况（也就是不存在 $X(j\omega) = 0$ 的特殊区间的情况下），最小采样频率才为 $2\omega_m$，否则最小采样频率将比 $2\omega_m$ 更小。

四、具有零阶保持电路的信号采样与恢复

4.1 采样

零阶保持电路是一个LTI连续时间系统，其冲激响应为 $h_0(t) = u(t) - u(t-T)$。

具有零阶保持电路的信号采样，是在冲击采样之后，级联一个零阶保持电路。因此输出为 $x_0(t) = x_p(t) * h_0(t)$。

频率响应为 $H_0(j\omega) = T e^{-j\omega T/2} \text{Sa}(\frac{\omega T}{2})$，其幅频特性和相频特性为：

$$|H_0(j\omega)| = T |\text{Sa}(\frac{\omega T}{2})|$$

$$\theta_0(\omega) = -\frac{\omega T}{2} + \angle\text{Sa}(\frac{\omega T}{2})$$

如图所示。

因此输出的频谱为：

$$X_0(j\omega) = X_p(j\omega)H_0(j\omega) = \text{Sa}(\frac{\omega T}{2}) e^{-j\omega T/2} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(j(\omega - k\omega_s))$$

可以看出，零阶保持电路输出信号的频谱，已不是原信号频谱的简单周期延拓，而是在 $\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(j(\omega - k\omega_s))$ 上，再乘以抽样函数 $\text{Sa}(\frac{\omega T}{2})$，并附加了相位移。

4.2 恢复

使用一个具有低通特性的重构滤波器 $H_r(j\omega)$，以补偿零阶保持电路的影响，$H_r(j\omega)$ 的频率响应为 $H_r(j\omega) = \begin{cases} \frac{1}{\text{Sa}(\omega T/2)} e^{j\omega T/2}, & |\omega| < \omega_s/2 \\ 0, & |\omega| > \omega_s/2 \end{cases}$，其幅频特性和相频特性如图所示。

因此可以得到通过重构滤波器的响应的频谱为：

$$Y(j\omega) = X_0(j\omega)H_r(j\omega) = X(j\omega)$$

即恢复出了原信号的频谱，也即恢复出了信号 $x(t)$。

五、实信号的复数表示

5.1 解析信号

• ​定义：单边频谱信号的傅里叶变换 $Z(j\omega) = \begin{cases} 2X(j\omega), & \omega > 0 \\ X(0), & \omega = 0 \\ 0, & \omega < 0 \end{cases}$，则称 $z(t)$ 是实信号 $x(t)$ 的​解析信号​，有时又称为实信号的​预包络。

5.2 希尔伯特变换

定义信号的希尔伯特变换为 $\hat{x}(t) = x(t) * \frac{1}{\pi t}$，所以，解析信号可以表示为 $z(t) = x(t) + j\hat{x}(t)$，解析信号的频谱为 $Z(j\omega) = X(j\omega) + j[-j\text{sgn}(\omega)X(j\omega)] = X(j\omega)[1 + \text{sgn}(\omega)]$。