第三章 连续时间信号的傅里叶变换

一、LTI连续时间系统对复指数信号的响应

如果输入为 $x(t) = e^{st}$，输出就是 $y(t) = H(s)e^{st}$（$s$ 要在收敛域内），其中 $H(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t)e^{-st} \text{d}t$。如果 $s = j\omega$，则有 $y(t) = H(j\omega)e^{j\omega t}$。

二、傅里叶级数

2.1 公式

$$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega_0 t}$$

$$a_k = \frac{1}{T} \int_{T} x(t) e^{-jk\omega_0 t} \text{d}t$$

其中 $a_0$ 为信号的直流分量，也是在一个周期内的平均值。

提示

如果在周期 $T$ 内 $x(t)$ 和 $g(t)$ 一样，而在周期外 $g(t)$ 的值为 0，且 $g(t) \leftrightarrow G(j\omega)$，则 $a_k = \frac{1}{T} G(jk\omega_0)$。

2.2 性质

若 $x(t)$ 和 $y(t)$ 的周期都是 $T$，$\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$。傅里叶系数分别为 $a_k$ 和 $b_k$：

1. ​线性：$Ax(t) + By(t)$ 的傅里叶系数为 $Aa_k + Bb_k$。
2. ​时移：$x(t-t_0)$ 的傅里叶系数为 $a_k e^{-jk\omega_0 t_0}$。
3. ​频移：$e^{jM\omega_0 t}x(t)$ 的傅里叶系数是 $a_{k-M}$。
4. ​共轭：$x^*(t)$ 的傅里叶系数是 $a_{-k}^*$。
5. ​时间反转：$x(-t)$ 的傅里叶系数是 $a_{-k}$。
6. ​时间尺度变换：$x(at), a>0$ 的傅里叶系数不变（但基频变为 $a\omega_0$）。
7. ​周期卷积：$\int_{T} x(\tau)y(t-\tau)\text{d}\tau$ 的傅里叶系数是 $T a_k b_k$。
8. ​相乘：$x(t)y(t)$ 的傅里叶系数是 $\sum_{m=-\infty}^{+\infty} a_m b_{k-m}$。
9. ​微分：$\frac{\text{d}x(t)}{\text{d}t}$ 的傅里叶系数是 $jk\omega_0 a_k$。
10. ​积分：$\int_{-\infty}^{t} x(\tau)\text{d}\tau$（需 $a_0=0$）的傅里叶系数是 $\frac{1}{jk\omega_0} a_k$。
11. 若 $x(t)$ 为实偶信号，则 $a_k$ 为实偶函数。
12. 若 $x(t)$ 为实奇信号，则 $a_k$ 为纯虚奇函数。
13. $x_e(t) = \text{Ev}\{x(t)\}$ 的傅里叶系数为 $\text{Re}\{a_k\}$。
14. $x_o(t) = \text{Od}\{x(t)\}$ 的傅里叶系数为 $j\text{Im}\{a_k\}$。
15. ​周期信号的帕斯瓦尔定理：$\frac{1}{T}\int_{T} |x(t)|^2 \text{d}t = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} |a_k|^2$。

注意

比较难的性质的证明是周期卷积性，周期帕斯瓦尔性质以及共轭性质。

2.3 傅里叶级数的收敛条件（狄里赫利条件）

1. 信号在任意一个周期内绝对可积，即 $\int_{T} |x(t)| \text{d}t < \infty$。
2. 信号在任意一个周期内，只有有限个极大值和极小值。
3. 信号在任意一个周期内，只有有限个间断点，而且在这些间断点处必须是有限值。

三、连续时间非周期信号的负指数分解——傅里叶变换

3.1 定义

$$X(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j\omega t} \text{d}t$$

$$x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} \text{d}\omega$$

3.2 常见信号的傅里叶变换

1. $\delta(t) \leftrightarrow 1$
2. $1 \leftrightarrow 2\pi\delta(\omega)$
3. $u(t) \leftrightarrow \frac{1}{j\omega} + \pi\delta(\omega)$
4. $e^{-at}u(t), \text{Re}\{a\}>0 \leftrightarrow \frac{1}{a+j\omega}$
5. $t e^{-at}u(t), \text{Re}\{a\}>0 \leftrightarrow \frac{1}{(a+j\omega)^2}$
6. $\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{(a+j\omega)^n}$
7. $e^{j\omega_0 t} \leftrightarrow 2\pi\delta(\omega-\omega_0)$
8. $\cos(\omega_0 t) \leftrightarrow \pi[\delta(\omega-\omega_0) + \delta(\omega+\omega_0)]$
9. $\sin(\omega_0 t) \leftrightarrow \frac{\pi}{j}[\delta(\omega-\omega_0) - \delta(\omega+\omega_0)]$
10. $G_\tau(t) = \begin{cases}1, & |t|<\tau/2 \\ 0, & |t|>\tau/2 \end{cases} \leftrightarrow \tau \text{Sa}(\frac{\omega\tau}{2})$
11. 周期信号 $\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega_0 t} \leftrightarrow 2\pi\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k \delta(\omega-k\omega_0)$
12. $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t-nT) \leftrightarrow \frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega-k\frac{2\pi}{T})$

3.3 傅里叶变换的性质

如果有这样的傅里叶变换：$x(t) \leftrightarrow X(j\omega)$, $y(t) \leftrightarrow Y(j\omega)$

1. ​线性：$ax(t) + by(t) \leftrightarrow aX(j\omega) + bY(j\omega)$
2. ​时移：$x(t-t_0) \leftrightarrow X(j\omega)e^{-j\omega t_0}$
3. ​频移：$e^{j\omega_0 t}x(t) \leftrightarrow X(j(\omega-\omega_0))$
4. ​时域综合运算：$x(at-b) \leftrightarrow \frac{1}{|a|}X(j\frac{\omega}{a})e^{-j\frac{\omega}{a}b}$
5. ​共轭对称性：若 $x(t)$ 为实信号，则 $X(j\omega) = X^*(-j\omega)$，且 $|X(j\omega)|$ 是偶函数，$\angle X(j\omega)$ 是奇函数；若 $x(t)$ 是实偶信号，则 $X(j\omega)$ 是实偶函数；若 $x(t)$ 是实奇信号，则 $X(j\omega)$ 是纯虚奇函数。并且 $\text{Ev}\{x(t)\} \leftrightarrow \text{Re}\{X(j\omega)\}$，$\text{Od}\{x(t)\} \leftrightarrow j\text{Im}\{X(j\omega)\}$。
6. ​对偶性：$X(t) \leftrightarrow 2\pi x(-\omega)$
7. ​时域卷积特性：$x(t) * y(t) \leftrightarrow X(j\omega)Y(j\omega)$
8. ​时域微分特性：$\frac{\text{d}x(t)}{\text{d}t} \leftrightarrow j\omega X(j\omega)$，$\frac{\text{d}^n x(t)}{\text{d}t^n} \leftrightarrow (j\omega)^n X(j\omega)$
9. ​时域积分特性：$\int_{-\infty}^{t} x(\tau)\text{d}\tau \leftrightarrow \frac{1}{j\omega}X(j\omega) + \pi X(0)\delta(\omega)$
10. ​帕斯瓦尔关系：$\int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 \text{d}t = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |X(j\omega)|^2 \text{d}\omega$
11. ​时域乘积：$x(t)y(t) \leftrightarrow \frac{1}{2\pi}X(j\omega) * Y(j\omega)$
12. ​频域微分：$-jt x(t) \leftrightarrow \frac{\text{d}X(j\omega)}{\text{d}\omega}$，$(-jt)^n x(t) \leftrightarrow \frac{\text{d}^n X(j\omega)}{\text{d}\omega^n}$
13. ​频域积分：$\frac{1}{-jt}x(t) + \pi x(0)\delta(t) \leftrightarrow \int_{-\infty}^{\omega} X(j\Omega)\text{d}\Omega$

四、连续时间周期信号的傅里叶变换

4.1 公式

$$X(j\omega) = 2\pi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k \delta(\omega - k\omega_0)$$

其中，$a_k = \frac{1}{T} X_0(jk\omega_0)$（$X_0(j\omega)$ 是一个周期内的时域函数的傅里叶变换）。

五、离散时间傅里叶变换（DTFT）

5.1 定义

$$X(e^{j\Omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] e^{-j\Omega n}$$

$$x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} X(e^{j\Omega}) e^{j\Omega n} \text{d}\Omega$$