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第五章 拉普拉斯变换

知秋一叶2026/6/11...大约 7 分钟
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一、拉普拉斯变换的定义式

F(s)=∫−∞+∞f(t)e−stdtF(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-st} \text{d}t

其中，s=σ+jωs = \sigma + j\omega 为复数。

反变换为：（基本不用）

f(t)=12πj∫σ−j∞σ+j∞F(s)estdsf(t) = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty} F(s) e^{st} \text{d}s

二、拉普拉斯变换的收敛域

2.1 定义

使得 ∫−∞+∞∣f(t)∣e−σtdt<∞\int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|e^{-\sigma t}\text{d}t < \infty 成立的 ss 的取值范围，称为拉普拉斯变换的收敛域（ROC） 。

2.2 性质

  1. 在 ss 平面内。拉普拉斯变换的收敛域是平行于 jωj\omega 轴的带状区域。
  2. 如果信号的拉普拉斯变换是有理式，则收敛域内不包含任何极点。
  3. 如果信号是时限信号且是绝对可积的，那么收敛域是整个 ss 平面。
  4. 如果信号是右边信号，并且其拉普拉斯变换为有理分式，则 F(s)F(s) 的收敛域为最右边极点的右侧平面。
  5. 如果信号是左边信号，并且其拉普拉斯变换为有理分式，则 F(s)F(s) 的收敛域为最左边极点的左侧平面。
  6. 如果信号是双边信号，并且其拉普拉斯变换为有理分式，则 F(s)F(s) 的收敛域为两极点间平行于虚轴的带状区域或为空集。

2.3 傅里叶变换和拉普拉斯变换的关系

由于

F(s)∣s=jω=∫−∞+∞f(t)e−jωtdt=F(jω)F(s)|_{s=j\omega} = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j\omega t} \text{d}t = F(j\omega)

因此傅里叶变换是拉普拉斯变换中当 σ=0\sigma = 0 的特例，也就是当拉普拉斯变换的收敛域包含虚轴的时候，信号的傅里叶变换就可以用拉普拉斯变换来表示，即 F(jω)=F(s)∣s=jωF(j\omega) = F(s)|_{s=j\omega}。

三、常见的拉普拉斯变换

  1. δ(t)↔1,全平面\delta(t) \leftrightarrow 1, \quad \text{全平面}
  2. u(t)↔1s,Re{s}>0u(t) \leftrightarrow \frac{1}{s}, \quad \text{Re}\{s\} > 0
  3. −u(−t)↔1s,Re{s}<0-u(-t) \leftrightarrow \frac{1}{s}, \quad \text{Re}\{s\} < 0
  4. tu(t)↔1s2,Re{s}>0t u(t) \leftrightarrow \frac{1}{s^2}, \quad \text{Re}\{s\} > 0
  5. tn−1(n−1)!u(t)↔1sn,Re{s}>0\frac{t^{n-1}}{(n-1)!} u(t) \leftrightarrow \frac{1}{s^n}, \quad \text{Re}\{s\} > 0
  6. e−atu(t)↔1s+a,Re{s}>−Re{a}e^{-at} u(t) \leftrightarrow \frac{1}{s+a}, \quad \text{Re}\{s\} > -\text{Re}\{a\}
  7. −e−atu(−t)↔1s+a,Re{s}<−Re{a}-e^{-at} u(-t) \leftrightarrow \frac{1}{s+a}, \quad \text{Re}\{s\} < -\text{Re}\{a\}
  8. te−atu(t)↔1(s+a)2,Re{s}>−Re{a}t e^{-at} u(t) \leftrightarrow \frac{1}{(s+a)^2}, \quad \text{Re}\{s\} > -\text{Re}\{a\}
  9. tn−1(n−1)!e−atu(t)↔1(s+a)n,Re{s}>−Re{a}\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at} u(t) \leftrightarrow \frac{1}{(s+a)^n}, \quad \text{Re}\{s\} > -\text{Re}\{a\}
  10. δ(t−t0)↔e−st0,全平面\delta(t-t_0) \leftrightarrow e^{-st_0}, \quad \text{全平面}
  11. cos⁡(ω0t)u(t)↔ss2+ω02,Re{s}>0\cos(\omega_0 t)u(t) \leftrightarrow \frac{s}{s^2+\omega_0^2}, \quad \text{Re}\{s\} > 0
  12. sin⁡(ω0t)u(t)↔ω0s2+ω02,Re{s}>0\sin(\omega_0 t)u(t) \leftrightarrow \frac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}, \quad \text{Re}\{s\} > 0
  13. e−atcos⁡(ω0t)u(t)↔s+a(s+a)2+ω02,Re{s}>−Re{a}e^{-at}\cos(\omega_0 t)u(t) \leftrightarrow \frac{s+a}{(s+a)^2+\omega_0^2}, \quad \text{Re}\{s\} > -\text{Re}\{a\}
  14. e−atsin⁡(ω0t)u(t)↔ω0(s+a)2+ω02,Re{s}>−Re{a}e^{-at}\sin(\omega_0 t)u(t) \leftrightarrow \frac{\omega_0}{(s+a)^2+\omega_0^2}, \quad \text{Re}\{s\} > -\text{Re}\{a\}
  15. sinh(βt)u(t)↔βs2−β2,Re{s}>∣β∣\text{sinh}(\beta t)u(t) \leftrightarrow \frac{\beta}{s^2-\beta^2}, \quad \text{Re}\{s\} > |\beta|

四、拉普拉斯变换的性质

如果有这样的拉普拉斯变换：f1(t)↔F1(s),ROC=R1f_1(t) \leftrightarrow F_1(s), \text{ROC}=R_1 且 f2(t)↔F2(s),ROC=R2f_2(t) \leftrightarrow F_2(s), \text{ROC}=R_2

  1. ​线性：af1(t)+bf2(t)↔aF1(s)+bF2(s),ROC⊇R1∩R2a f_1(t) + b f_2(t) \leftrightarrow a F_1(s) + b F_2(s), \quad \text{ROC} \supseteq R_1 \cap R_2
  2. ​时移特性：f(t−t0)↔F(s)e−st0,ROC=Rf(t-t_0) \leftrightarrow F(s)e^{-st_0}, \quad \text{ROC} = R
  3. ​复频域移位特性：es0tf(t)↔F(s−s0),ROC=R+Re{s0}e^{s_0 t}f(t) \leftrightarrow F(s-s_0), \quad \text{ROC} = R + \text{Re}\{s_0\}
  4. ​尺度变换特性：f(at)↔1∣a∣F(sa),ROC=aRf(at) \leftrightarrow \frac{1}{|a|}F(\frac{s}{a}), \quad \text{ROC} = aR
  5. ​共轭特性：f∗(t)↔F∗(s∗),ROC=Rf^*(t) \leftrightarrow F^*(s^*), \quad \text{ROC} = R
  6. ​时域卷积特性：f1(t)∗f2(t)↔F1(s)F2(s),ROC⊇R1∩R2f_1(t) * f_2(t) \leftrightarrow F_1(s)F_2(s), \quad \text{ROC} \supseteq R_1 \cap R_2
  7. ​时域微分特性：df(t)dt↔sF(s),ROC⊇R\frac{\text{d}f(t)}{\text{d}t} \leftrightarrow sF(s), \quad \text{ROC} \supseteq R
  8. ​时域积分特性：∫−∞tf(τ)dτ↔1sF(s),ROC⊇R∩{Re{s}>0}\int_{-\infty}^{t} f(\tau)\text{d}\tau \leftrightarrow \frac{1}{s}F(s), \quad \text{ROC} \supseteq R \cap \{\text{Re}\{s\}>0\}
  9. ​复频域微分特性：−tf(t)↔dF(s)ds,ROC=R-tf(t) \leftrightarrow \frac{\text{d}F(s)}{\text{d}s}, \quad \text{ROC} = R
  10. ​初值定理：f(0+)=lim⁡s→∞sF(s)f(0^+) = \lim_{s \to \infty} sF(s)，条件是 f(t)f(t) 在 0 时刻无冲激信号及其导数
  11. ​终值定理：f(∞)=lim⁡s→0sF(s)f(\infty) = \lim_{s \to 0} sF(s)，条件是 sF(s)sF(s) 的收敛域包含虚轴（包括原点）

五、拉普拉斯逆变换的计算方法——部分分式展开法

F(s)=N(s)D(s)F(s) = \frac{N(s)}{D(s)}

5.1 F(s)F(s) 的极点为单极点

F(s)=∑i=1mkis−piF(s) = \sum_{i=1}^{m} \frac{k_i}{s-p_i}

kik_i 为待定参数，此时 ki=[(s−pi)F(s)]∣s=pik_i = [(s-p_i)F(s)]|_{s=p_i}，同理可得所有的 kik_i，最后利用变换对得出逆变换。

5.2 F(s)F(s) 的极点为多重极点

假设 p1p_1 是 rr 重极点

F(s)=k11s−p1+k12(s−p1)2+⋯+k1r(s−p1)r+∑i=r+1mkis−pi F(s) = \frac{k_{11}}{s-p_1} + \frac{k_{12}}{(s-p_1)^2} + \dots + \frac{k_{1r}}{(s-p_1)^r} + \sum_{i=r+1}^{m} \frac{k_i}{s-p_i}

k1r=[(s−p1)rF(s)]∣s=p1k_{1r} = [(s-p_1)^r F(s)]|_{s=p_1}

k1,r−1={dds[(s−p1)rF(s)]}∣s=p1k_{1,r-1} = \left\{ \frac{\text{d}}{\text{d}s}[(s-p_1)^r F(s)] \right\}\Big|_{s=p_1}

最后通式：k1,r−j=1j!{djdsj[(s−p1)rF(s)]}∣s=p1k_{1,r-j} = \frac{1}{j!} \left\{ \frac{\text{d}^j}{\text{d}s^j}[(s-p_1)^r F(s)] \right\}\Big|_{s=p_1}，其他的单极点的参数解法跟（1）一致。

六、LTI连续时间系统的s域描述

6.1 因果性与系统函数收敛域的关系

如果系统是因果系统，则系统函数 H(s)H(s) 的收敛域位于最右边极点的右侧平面。反之不一定成立，只能说如果系统函数 H(s)H(s) 的收敛域位于最右边极点的右侧平面，则是右边信号。（不一定是因果的，例如 h(t)=e−tu(t+1)h(t) = e^{-t}u(t+1)）。

6.2 稳定性与系统函数收敛域的关系

系统函数 H(s)H(s) 的收敛域包含虚轴（σ=0\sigma = 0）是系统稳定的充要条件。

提示

如果一个系统的系统函数的极点多于零点，那么其阶跃响应在 t=0t=0 处必然是连续的。

6.3 全通系统的概念

如果一个系统的零点和极点关于虚轴对称，则该系统是全通系统。显然，无失真传输系统是一个全通系统。

6.4 最小相位系统的概念

对于因果LTI时间系统，如果其系统函数的所有零极点都位于左半平面，则该系统是最小相位系统。显然，最小相位系统的逆系统也一定是因果的稳定系统。对于任意一个因果的LTI系统，都可以表示为一个最小相位系统和一个全通系统的级联。

七、单边拉普拉斯变换

7.1 定义

F(s)=∫0−+∞f(t)e−stdtF(s) = \int_{0^-}^{+\infty} f(t) e^{-st} \text{d}t

单边拉普拉斯变换中的积分下限取 0−0^-，是为了包含 t=0t=0 时刻的冲激信号或冲激信号的各阶导数。因此可以改写成 F(s)=∫0−0+f(t)e−stdt+∫0++∞f(t)e−stdtF(s) = \int_{0^-}^{0^+} f(t)e^{-st}\text{d}t + \int_{0^+}^{+\infty} f(t)e^{-st}\text{d}t。

7.2 单边拉普拉斯变换的时域微分特性

若 f(t)↔F(s)f(t) \leftrightarrow F(s)，则 df(t)dt↔sF(s)−f(0−)\frac{\text{d}f(t)}{\text{d}t} \leftrightarrow sF(s) - f(0^-)，

d2f(t)dt2↔s2F(s)−sf(0−)−f′(0−)\frac{\text{d}^2 f(t)}{\text{d}t^2} \leftrightarrow s^2 F(s) - s f(0^-) - f'(0^-)

八、用拉普拉斯变换求系统响应

  1. 若输入信号为复指数信号，则系统响应为 y(t)=H(s)x(t)y(t) = H(s)x(t)。
  2. 若系统初始条件不为 0，求系统的全响应或者零输入响应，用单边拉普拉斯变换求解。
  3. 其他情况用双边拉普拉斯变换求解。

九、电路元件的s域模型

9.1 电阻的s域模型

电阻两端的电压和电流的关系为：v(t)=Ri(t)v(t) = R i(t)，对其进行拉氏变换得到 V(s)=RI(s)V(s) = R I(s)。

图形化表示电阻的s域模型为：

9.2 电感的s域模型

电感两端的电压和电流关系为 v(t)=Ldi(t)dtv(t) = L \frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t}，经拉氏变换得到 V(s)=sLI(s)−Li(0−)V(s) = sL I(s) - L i(0^-)，即 I(s)=V(s)sL+i(0−)sI(s) = \frac{V(s)}{sL} + \frac{i(0^-)}{s}。

图形化表示电感的s域模型为（通常由理想电感串联电压源或并联电流源构成）：

9.3 电容的s域模型

电容两端的电压和电流关系为 i(t)=Cdv(t)dti(t) = C \frac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}，进行拉普拉斯变换得到关系式 V(s)=1sCI(s)+v(0−)sV(s) = \frac{1}{sC} I(s) + \frac{v(0^-)}{s}，即 I(s)=sCV(s)−Cv(0−)I(s) = sC V(s) - C v(0^-)。

图形化表示电容的s域模型为：

十、LTI连续时间系统的方框图描述

以二次为例：设 d2y(t)dt2+a1dy(t)dt+a2y(t)=b0d2x(t)dt2+b1dx(t)dt+b2x(t)\frac{\text{d}^2 y(t)}{\text{d}t^2} + a_1 \frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t} + a_2 y(t) = b_0 \frac{\text{d}^2 x(t)}{\text{d}t^2} + b_1 \frac{\text{d}x(t)}{\text{d}t} + b_2 x(t)，可绘制对应的直接I型或直接II型结构方框图。

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